圆锥曲线弦长公式

已知某一平面圆锥曲线方程与某直线相交,其方程分别为

$$ \frac{x^2}{m} + \frac{y^2}{n} = 1 $$

其中m,n不同时为负数,mn ≠ 0

$$ y = kx + b $$

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联立方程整理可得

$$ (mk^2 +n)x^2+2kbmx+mb^2-mn=0 $$

判别式

$$ \Delta = 4mn(mk^2+n-b^2) $$

由一般一元二次方程两根之差表达式

$$ ax^2+bx+c=0 $$

$$ \left|x_1-x_2\right|=\sqrt{{(x_1+x_2)^2-4x_1x_2}}=\sqrt{(\frac{b}{a})^2-4\frac{c}{a}}=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}=\frac{\sqrt{\Delta}}{\left| a\right|} $$

代入原方程两根之差

$$ \left|x_1 - x_2\right|=\frac{\sqrt{4mn(mk^2+n-b^2)}}{\left|mk^2+n\right|} $$

所以AB弦长

$$ \left|AB\right|=\sqrt{k^2+1}\frac{\sqrt{4mn(mk^2+n-b^2)}}{\left|mk^2+n\right|} $$




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